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北京时间2026年4月1日，载着四位航天员的阿尔忒弥斯2号（Artemis II）于肯尼迪航天中心升空。次日清晨，成功环绕地球一周的航天器再次点火，在时隔五十余年后，人类再次开启奔向月球的征程。阿尔忒弥斯2号将如何抵达月球？航天员们沿途将会与什么物理学原理交汇？

4月5日14时，《张朝阳的物理课》第二百八十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先回顾了如何求解中心天体引力场中的轨道方程，再利用所得结果近似计算了阿尔忒弥斯2号的奔月轨道，并说明了阿尔忒弥斯2号如何利用月球的引力弹弓效应减速，实现回归地球。

阿尔忒弥斯2号的航行遵循牛顿力学的轨道方程

在物理课开始时，阿尔忒弥斯2号正在距离我们几万公里的深空中前行。张朝阳首先向观众们介绍了美国航天局（NASA）对航行路线的整体规划：在发射升空后，阿尔忒弥斯2号会被送入一个近地轨道并短暂停留。其后二级火箭会在分离前再一次点火，将航天器送到一个极扁的高地球轨道（HEO）上。这一轨道的近地点（perigee）距地面仅有200余公里，张朝阳调侃道：“甚至令人担心会不会撞到地球上”。而远地点（apogee）则去到了前所未有的近7万公里外，甚至跑出了著名的范艾伦辐射带。在近一天的时间内，机组成员要在这个极端轨道上测试包括通讯、生命维持在内的各种系统的可行性。

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在绕行一周重新回到近地点后，阿尔忒弥斯2号会准时点火，正式开始向月球进发，并在月球附近利用引力弹弓效应进行转向，重新回到地球。这次航行的目的不在于登月，而是月背七千余公里处掠过月球并返回，从而为未来建立月球基地做技术验证。张朝阳将执行这次任务的四名航天员誉为“勇士”，对他们最好的致敬，就是去了解物理学赋予这次任务的底气。更令人兴奋的是，物理学的基础理论允许我们利用网络上有限的数据和消息，去了解和理解万里之外真实发生的事情，“就像老话说的，秀才不出门，尽知天下事。”

牛顿力学决定了，在中心天体引力场中航天器必须沿着圆锥曲线轨道航行。最简单的情形是航天器绕中心天体运动的速度恰好满足 $v=\sqrt{GM/R}$ 时，它的轨迹会是一个完美的圆。其中，我们用 $M$ 代表中心天体的质量， $R$ 代表轨道半径， $G=6.67\times 10^{-11}\mathrm{ Nm^2/kg^2}$ 是牛顿引力常数。如果航天器的速度更小，它就会沿椭圆轨道落向地球。如果速度稍大，航天器就能航行到更远的地方，但仍然会被地球拽回，走的仍然是一个椭圆形的轨道。

图1：中心天体引力场中的椭圆轨道及极坐标

如图1，如果以中心天体为原点建立极坐标，利用牛顿第二定律和万有引力定律可以写出航天器的运动方程

$\frac{\mathrm d^2\vec{r}}{\mathrm d t^2} = \frac{GM}{r^2}\vec e_r$

其中 $\vec{r}$ 是航天器的位置矢量， $r$ 是其对应的模长。利用极坐标系下的导数关系以及比奈变换 $y=1/r$ ，不难证明航天器的径向运动应满足方程

$\frac{\mathrm d^2y}{\mathrm d\theta^2} + y = \frac{GM}{\alpha^2}$

其中 $\alpha$ 是表征角动量守恒的常数。从这一方程中，我们可以解出普适的轨道方程

$r(\theta) = \frac1{A\cos\theta+B} \qquad\qquad (1)$

分母上的常数 $A$ 和 $B$ 决定了轨道的性质，其中 $B =GM/\alpha^2$ 。当 $B\geq A>0$ 时候，方程对任意的 $\theta$ 都成立，对应的正是前面分析的绕转椭圆轨道。如果 $A>B$ ，则存在特定的角度

$\theta = \arccos\left|\frac{A}{B}\right| \qquad\qquad\quad (2)$

使得分母为零，方程发散。此时，方程(1)描述的是一个从中心天体附近飞掠而过的双曲线轨道。去年下半年造访太阳系的3I/Atlas彗星，走的正是这一类型的轨道。

如果沿着椭圆轨道对时间作积分，我们就能得到开普勒第三定律，它给出了椭圆轨道半长轴 $a$ 这一几何参数与绕转周期 $T$ 的关系：

$GMT^2 = 4\pi^2a^3$

在阿尔忒弥斯2号走过的高地球轨道上可以验证这一定律。根据美国航天局官方给出的数据，并取地球半径 $R_e=6600\mathrm{ km}$ ，我们可以推断：

$\begin{aligned} \mathrm{perigee:}\qquad r_1 &= 6.6\times 10^{6} \mathrm{ m} \\ \mathrm{apogee:}\qquad r_2 &= 76.4\times 10^{6} \mathrm{ m}\end{aligned}$

从而可以推出半长轴

$a = \frac12(r_1+r_2) = 41.5\times 10^{6} \mathrm{ m}$

代入开普勒第三定律，并取地球质量 $M_e=6\times 10^{24}\mathrm{ kg}$ ，可以计算得到轨道周期

$T = 23.3\mathrm{ hr}$

这一结果与美国航天局公布的实际绕转时长23.5小时相当接近，正好说明了理论的可靠性。

利用拼接双曲线法计算奔月自由返回轨道

在完成接近一天的绕转后，阿尔忒弥斯2号在近地点执行了被称为奔月轨道注入（Trans-Lune Injection, TLI）的点火机动，提高自身速度以进入地月转移轨道。严格来说，奔月过程是个由地球、月球和航天器组成的三体问题，难以求解。然而物理学家的拿手好戏就是寻找好的近似，以极大地简化问题。即使是计算机求精确数值解已经相当成熟地今天，简化的解析结果也非常重要。它不仅能帮我们理解其中的物理图像，更是数值求解的基础和出发点。

由于引力大小会随着距离快速衰减，奔月这一三体问题，事实上可以被近似为相对独立的两个二体问题。在向月球进发过程中相当长的一段时间内，我们可以认为阿尔忒弥斯2号不受月球引力的影响，直到阿尔忒弥斯2号进入月球一个称为“希尔球”（Hill's sphere）的范围内。然而此时，地球对航天器的影响又变得可以忽略，需要考虑的仍然是一个二体问题。作为分界的希尔球，其半径可以根据如下公式估算：

$R_H = \left(\frac{M_m}{3M_e}\right)^{1/3}L$

其中 $M_m$ 是月球质量，大约是地球质量的1/81。再代入地月距离 $L=400\times10^6\mathrm{ m}$ ，可知

$R_H=0.16L = 64\times 10^6 \mathrm{ m}$

也即在近1/8的路程中，月球对航天器的影响都可以忽略。

图2：阿尔忒弥斯2号可以被认为在沿着一个极细长的椭圆轨道行进

在这段由地球主导的旅程中，阿尔忒弥斯2号仍然可以被认为在沿着一个极细长的椭圆轨道行进（如图2）。为了简化计算，张朝阳将这一轨道的远地点位置 $r_1$ 近似取为地月距离，而近地点位置 $r_2$ 不变。从方程(1)及其常数的定义中可以推出

$\alpha = \sqrt{\frac{2GM_e}{\frac1{r_1}+\frac1{r_2}}} = 7.2\times 10^{10} \mathrm{ m^2/s}$

从而，利用角动量守恒方程，可以求出阿尔忒弥斯2号在近地点加速后可达到的速度

$v_1 = \frac{\alpha}{r_1} = 10.92\times 10^3 \mathrm{ m/s}$

此时，月球事实上也在绕地球转动，因而本质上这是一个相遇问题。为了简化计算，张朝阳假定在航天器进入月球希尔半径范围内时，月球已恰好就位，使得可以认为航天器在距离地球

$r_2 = L-R_H = 336 \times 10^6 \mathrm{ m}$

处到达分界点。

根据能量守恒，应有

$\frac12v_1^2 - \frac{GM_e}{r_1} = \frac12v_2^2 - \frac{GM_e}{r_2}$

可以解出

$\begin{aligned}v_2 &= \left[v_1^2 - 2GM_e\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right)\right]^{1/2} \\&= 0.648 \mathrm{ km/s}\end{aligned}$

由于地球主导段的椭圆轨道极其细长，张朝阳还假定了越过分界时刻，阿尔忒弥斯2号的速度与月球速度恰好垂直。此后的路程中，阿尔忒弥斯2号将暂时由月球引力场“接管”，所有计算将以月球为参考系进行。

图3：阿尔忒弥斯2号在月球附近的双曲线轨道

由速度合成公式，在月球参考系中，航天器应速度应以如图3中的 $\vec{v}_3$ 所示的速度进入。将月球的轨道视为圆，可以求出其行进速度大小为

$v_m = \sqrt{\frac{GM_e}{L}} = 1\mathrm{ km/s}$

从而，应有月球参考系下入射速度的大小和偏角分别为：

$\begin{aligned}v_3 &= 1.19 \mathrm{ km/s}, &\theta_1 &= 33^\circ\end{aligned}$

可以证明，这一速度已经超过了月球的逃逸速度。在月球看来，阿尔忒弥斯2号将从相当遥远的地方快速掠过自身，这一过程可由上一节中提及的双曲线轨道描述（如图3）。张朝阳解释道，该过程中最重要的物理量是其越过月背时在近月点处距离月面的高度，以及其后再次回到希尔球半径处的出射速度方向角 $\theta$ 。

根据美国航天局设定的目标，阿尔忒弥斯2号将航行至月背7400 km高度处。加上月球的半径，可以推断双曲线轨道的近月点在 $r_0 = 9.141 \times 10^6 \mathrm{ m}$ 处。将入射点近似看成无穷远，由能量守恒可以得到

$\frac12v_3^2 = \frac12v_4^2 - \frac{GM_m}{r_0}$

从中可以求出

$v_4 = \sqrt{v_3^2+\frac{2GM}{r_0}} = 1.579 \mathrm{ km/s}$

并计算出角动量参数

$\alpha = v_4r_0 = 1.443 \times 10^{10} \mathrm{ m^2/s}$

图4：双曲线轨道中的速度合成关系

根据这一结果，可以进一步求出方程(1)中的参数

$\begin{aligned} B &= \frac{GM_e}{\alpha^2} = 2.355\times 10^{-8} \\ A &= \frac1{r_0} - B = 8.585\times 10^{-8}\end{aligned}$

进而将轨道完全确定下来。根据式(2)，出入射的方向角可以确定为

$\theta = 74^\circ$

根据图4中的几何关系，可以计算得到整个掠过过程的偏角

$\theta' = 180^\circ - 74^\circ\times2 = 32^\circ$

根据能量守恒，在月球视角下，阿尔忒弥斯2号的出射速度大小应当与入射保持一致。然而，重新切换回地球参考系，用出射速度再次减去月球自身的绕转速度，可以证明：以停留在地表的人类的角度来看，重新落入地球引力场中的航天器是几乎静止的，其速度可用图4中的小箭头表示，模长仅为

$v_5 \approx 17\mathrm{ m/s}$

这即是月球对航天器的“引力弹弓”效应。高速航行的阿尔忒弥斯2号会“撞到”无形的软墙上，把动能通过引力场转递给月球，使得自身速度大幅降低。此后，它将在地球引力的牵引下回落到地球附近，并重新进入大气层。

这一结果定性解释了阿尔忒弥斯2号的自由返回轨道是如何实现的，张朝阳解释道，但也应当承认，近似计算结果在定量上和航天器的实际轨道仍有差异。近似计算可以告诉我们：阿尔忒弥斯2号可以通过在近地轨道加速远离地球并利用月球引力进一步走向月背。其后，月球的引力弹弓效应会让航天器在绕月后“急刹车”，重新向母星方向返回，避免其继续向外飞离。但是，计算过程中的诸多假定——比如入射速度近似垂直、入射位置近似在无穷远处等——不可避免地会造成计算得到的出射速度偏小。在经由数值方法校准的预测中，阿尔忒弥斯2号在减速后仍有一定的航行速度，并以一个椭圆轨道重新回到地球附近并切入大气层。

人类如何奔向月球？《张朝阳的物理课》手推阿尔忒弥斯2号自由返回轨道